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发布时间:2010-5-22 10:11:35 浏览次数:4214 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 

复数与平行四边形家族

  菱形、矩形等特殊的平面四边图形与某些复数式之间存在某种联系,复数的几何意义架起了“形”与“数”相互转化的桥梁.下面略举几例,以供参考.

友情提示:若复数,则称为z的模,它在复数中有广泛的应用.

  一、复数式与矩形

  例1 复数满足,证明:

  证明:设复数在复平面上对应的点为

知,以为邻边的平行四边形为矩形,,可设,所以

  例2 已知复数满足,且,求的值.

  解:设复数在复平面上对应的点为,由于,故

  故以为邻边的平行四边形是矩形,

  从而,则

  例3 已知复数满足,且,求证:

  证明:设复数在复平面上对应的点为,由条件知,以为邻边的平行四边形为正方形,而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线,所以

  点评:复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义.复数加法几何意义的运用是本题考查的重点.

  二、复数式与菱形

  例4 已知,求

  解:设复数在复平面上对应的点分别为,由知,以为邻边的平行四边形是菱形,

  在中,由余弦定理,得 

  

  因此,是正三角形.

  点评:本题通过复数模的几何意义的应用来判断四边形的形状,并且应用到了余弦定理,使得问题解决的很巧妙,其中例1~例4均可用处理.

  例5 求使为纯虚数的充要条件.

  解:∵是纯虚数,∴可设,将其改写为

  设复数在复平面上对应的点为,以为邻边的平行四边形是菱形,

  ∴,考虑到时,

  时,无意义,故使为纯虚数的充要条件是,且,即z是模为a的虚数(非纯虚数).

  点评:复数的加减法符合平行四边形法则,是复数与平行四边形家族联姻的前提.深入抓住复数加减法的几何意义的本质,可使我们求解复数问题的思路更加广阔,方法也更加灵活.

 
 
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