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发布时间:2009-3-15 11:21:00 浏览次数:6162 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 

  在学习过正比例函数和反比例函数之后,把两者放在一起进行横向比较,获得综合性的认识,有助于加深对这两种基本初等函数的理解。

1、正比例和反比例

日常生活中,人们常常说到正比例或反比例。例如,经常有人说:“方法正确时,一分耕耘,一分收获,付出与成果成正比例;方法不正确时,往往会适得其反,干得越多,效果越差,付出与成果成反比例。”这些话是有道理的。但是这里所说的正比例、反比例仅是一种比喻。数学中对正比例和反比例的含义有严格的规定。请看下面两个问题。

问题1:一架直升机以10m/s的速度从海面上升,直升机所在的海拔高度随着时间的变化而变化,时间增加,高度增加。高度与时间是什么关系?

问题2:一艘潜艇以10m/s的速度从海面下降,潜艇所在的海拔高度随着时间的变化而变化,时间增加,高度减少。高度与时间是什么关系?

或许有人会说“问题1中高度与时间是正比例关系,问题2中高度与时间是反比例关系”,理由是“问题1中时间增加,高度增加;问题2中时间增加,高度减少”。这样的说法正确吗?

数学中的正比例的定义是:如果两个变量的比是一个非零常数,则称它们成正比例。

记海面高度为0m,海面上、下的海拔高度分别用正、负数表示,则高度(m)和时间(s)的比在问题1中是10,在问题2中是-10。虽然10与-10一正一负,但都是非零常数,所以这两个问题中的高度与时间都成正比例关系。请注意:两个变量成正比例的关键条件是它们的比是非零常数,而不一定要求“一个变量增加,另一个变量也增加;一个变量减少,另一个变量也减少”。

把正比例的定义中的“比”换成“积”,就成为反比例的定义:如果两个变量的积是一个非零常数,则称它们成反比例。

如果两个变量的积总等于1,则它们成反比例。其中一个变量的值分别为1234时,另一个变量的值分别为1。容易看出,一个变量增加时,另一个变量减少。

如果两个变量的积总等于-1,则它们成反比例。其中一个变量的值分别为1234时,另一个变量的值分别为。容易看出,一个变量增加时,另一个变量也增加。

请注意:两个变量成反比例的关键条件是它们的积是一个非零常数,而不一定要求“一个变量增加,另一个变量反而减少;一个变量减少,另一个变量反而增加”。

2、正比例函数和反比例函数

许多实际问题中都包含着正比例或反比例关系。例如:(1)当平均速度v是常数kk0)时,路程s与时间t的比,即st成正比例。这时也可以把变形,用s=kt表示st成正比例。(2)当路程s是常数kk0)时,平均速度v与时间t的积vt=k,即vt成反比例。这时也可以把vt=k变形,用表示vt成反比例。

正、反比例函数是反映变量之间具有正、反比例关系的数学模型。它们通过解析式刻画了两个变量xy间的关系,即正比例函数是能够写成y=kx(常数k0)形式的函数,反比例函数是能够写成(常数k0)形式的函数。

也许有人会问:为什么不把正、反比例函数分别定义为(常数k0)和xy=k(常数k0)的形式呢?如果这样做,不是更直接地反映了两个变量的比或积是常数的特征吗?

y=kx是同一数量关系的不同表示法,y=kx这种形式把yx分别写在等号的两边,这就能比更明显地表示出yx的变化而变化,yx的函数。所以正比例函数定义采用y=kx的形式。出于同样道理,反比例函数采用的形式来定义,而不用xy=k的形式定义。

把前面叙述过的正、反比例的定义和正、反比例函数的定义加以比较,我们可以发现,虽然它们表达的意义基本相同,但是在表达方式上却有所不同。两个函数的定义分别通过y=kx两个式子,表达了变量yx间的正、反比例关系,这是用数学式子说话。它比文字叙述更加简明准确,而且揭示了“当x每取一个确定的、有意义的值时,y都会取一个值与x对应”的规律,这正是函数概念的精髓。由此可以看出,数学式子是一种非常好的科学语言,能起到普通语言难以发挥的作用。

 
 
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