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发布时间:2011-3-13 22:10:59 浏览次数:7232 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 
1. 已知xy>0,xy=1,求证:≥2
2. 解下列各题
(1)求函数y=2x2x>0)的最小值。
(2)求函数yx2x>0)的最小值。
(3)求函数y=3x2-2x3(0<x=的最大值。
(4)求函数yx(1-x2)(0<x<1=的最大值。
3. 若abc∈R,且abc=1,
求证:
4. 如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与ab的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米,问ab各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(AB孔面积忽略不计)。
 
 
1. 证明:xy>0,xy=1 ∴
≥2=2,即≥2
2. 解:(1)∵x>0  ∴2x2>0,>0,∴y=2x2=2x2≥3·
当且仅当2x2,即x时等号成立。
故当x时,y有最小值3·
(2)
当且仅当x=±时,等号成立。
故当x=±时,y有最小值3
(3)∵0<x  ∴3-2x>0
yx2(3-2x)=x·x·(3-2x)≤(3=1
当且仅当x=3-2xx=1时,等号成立。
(4)∵0<x<1  ∴1-x2>0
y2x2(1-x22·2x2(1-x2)(1-x2)≤3
当且仅当2x2=1-x2x时,等号成立,
∴当x时,y2有最大值
由题意可知:y>0,故当x时,y有最大值
3. 证明:abc∈R,且abc=1
∴2=(ab)+(bc)+(ca
∴[(ab)+(bc)+(ca)]·(
≥3·×3·=9
4. 分析:应用题的最值问题,主要是选取适当的变量,再依据题设,建立数学模型(即函数关系式),由变量和常量之间的关系,选取基本不等式求最值。
解法一:y为流出的水中杂质的质量分数,根据题意可知:y,其中k>0且k是比例系数。依题意要使y最小,只需求ab的最大值。
由题设得:4b+2ab+2a=60  (a>0,b>0)
a+2bab=30  (a>0,b>0)
a+2b≥2  ∴2ab≤30
当且仅当a=2b时取“=”号,ab有最大值。
∴当a=2b时有2ab=30,即b2+2b-15=0
解之得:b1=3,b2=-5(舍去)∴a=2b=6
故当a=6米,b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
解法二:y为流出的水中杂质的质量分数,由题意可知:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)
a+2bab=30  (a>0,b>0),∴b   (0<a<30)
由题设:y,其中k>0且k是比例系数,依题只需ab取最大值。
y
∴当且仅当a+2=时取“=”号,即a=6,b=3时ab有最大值18。
故当a=6米,b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
 
 
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